Grafy funkcí

Spojitost funkce

Spojitost v bodě (oboustranně)

Funkce f je spojitá v bodě a, jestliže k libovolně zvolenému okolí bodu f(a) existuje takové okolí bodu a, že pro všechna x z tohoto okolí bodu a patří hodnoty f(x) do zvoleného okolí bodu f(a). Má-li být v bodě a funkce spojitá musí být v bodě a jeho okolí definována.

Spojitost v bodě(jednostranně)

Funkce f je v bodě a spojitá zprava, jestliže ke každému ε>0 existuje takové σ>0, že nerovnost |f(x) - f(a)|< ε je splněna pro všechna reálná x z intervalu Funkce f je v bodě a spojitá zleva, jestliže ke každému ε>0 existuje takové σ>0, že nerovnost |f(x) - f(a)|< ε je splněna pro všechna reálná x z intervalu (a-σ,a>.

Spojitost v intervalu (a,b)

Funkce je spojitá v otevřeném intervalu (a,b), je-li spojitá v každém bodě tohoto intervalu.

Spojitost v intervalu <a,b>

Funkce je spojitá v uzavřeném intervalu , je-li spojitá v (a,b) a v bodě a je spojitá zprava a v bodě b je spojitá zleva.

Věty o funkcích spojitých v <a;b>

Věta Weierstrassova. Je-li funkce f spojitá v uzavřeném intervalu <a;b>, existuje alespoň jeden takový bod
x1 є <a;b>, že pro všechna x є <a;b> platí f(x) ≤ f(x1), a alespoň jeden takový bod x2 є <a;b>, že pro všechna
x є <a;b> platí f(x) ≥ f(x2).

Věta Bolzanova-Weierstrassova. Je-li funkce f spojitá v a f(a) ≠ f(b), potom ke každému číslu K, které leží mezi čísly f(a) a f(b), existuje alespoň jeden takový bod c є (a,b), že f(c) =K.

Je-li funkce f spojitá v a mají čísla f(a)a f(b) různá znaménka, tj. f(a) * f(b) < 0, potom existuje alespoň jeden takový bod c є (a,b), v němž platí f(c) = 0.