Grafy funkcí

Obsah:

  1. Vlastnosti funkcí:
  2. Funkce:
  3. Goniometrické funkce
  4. Grafy lin. a kvadr. funkcí při řešení rovnic a nerovnic
  5. Užití diferenciálního počtu
  6. Užití integrálního počtu

Derivace

Geometrický význam

Hodnota derivace funkce v bodě je směrnicí tečny ke grafu funkce v tomto bodě.

Význam derivace pro průběh funkce

1. derivace nám určí směrnici tečny. Položíme-li tuto derivaci rovnou nule, nalezneme tak všechny stacionární body. Tyto body a body nespojitosti nám rozdělí D(f) na intervaly, ve kterých budeme určovat monotónnost funkce. V intervalech určíme znaménko 1. derivace dosazením bodu z příslušného intervalu.

  1. Jestliže f‘(x)>0. Funkce je v intervalu rostoucí.
  2. Jestliže f‘(x)<0. Funkce je v intervalu klesající.
  3. Jestliže f‘(x)=0. Funkce je v intervalu konstantní.

Stacionární body jsou body na grafu funkce, ve kterých je tečna ke grafu funkce rovnoběžná s osou x. Tyto body jsou podezřelé z toho, že jsou maximy, minimy, jak lokálními tak globálními. Dosazením stacionárních bodů do 2. derivace zjistíme:

  1. Jestliže f‘‘(x)<0, jedná se o maximum.
  2. Jestliže f‘‘(x)>0, jedná se o minimum.
  3. Jestliže f‘‘(x)=0, pak o extrému rozhoduje to, zda se v okolí daného bodu mění znaménko první derivace. Tento bod je navíc podezřelý z toho, že se jedná o inflexní bod.

Položíme-li tuto 2. derivaci rovnou nule a určíme-li body v nichž druhá derivace neexistuje, zistíme body podezřelé z inflexnosti. Tyto body nám rozdělí D(f) na intervaly, ve kterých budeme určovat konkávnost a konvexnost funkce. V intervalech určíme znaménko 2. derivace dosazením bodu z příslušného intervalu. Pokud se v okolí bodu mění znaménko druhé derivace, pak se jedná o inflexní bod.

  1. Jestliže f‘‘(x)<0. Funkce je v intervalu konkávní.
  2. Jestliže f‘‘(x)>0. Funkce je v intervalu konvexní.

Nechť funkce f má v bodě x0 derivaci. Přechází-li v tomto bodě graf funkce f z konkávní na konvexní nebo z konvexní do konkávní, nazýváme bod x0 inflexní bod funkce f.

nahoru